夏帆と俺は義理の兄妹。
だが実の兄妹以上に仲は良かった。
少なくとも俺は夏帆に恋愛感情を抱いている。
そんなある日、夏帆に数学を教えているときのこと。
夏帆「お兄ちゃん、先生が言ってたんだけど、オイラーの等式って何？」
「e^(iπ)=-1のことだよ。
夏帆「e^(iπ)？」
「eはネイピア数、iは虚数単位、πは円周率。」
夏帆「それくらい知ってるよぉ。そうじゃなくて、指数が虚数ってどういうこと？」
「指数関数は複素数まで拡張できるんだ。夏帆は、指数関数を多項式で表せるって知ってる？」
夏帆「本当に？」
「もし、e^x=a0+a1x+…+anx^n+…って形で表せるとしたら、anはどんな値になるかな？」
夏帆「ん～。そうだ、x=0を代入すれば…。1=a0♪」
「すごい、その通りだ。」
夏帆「あれれ、でもa1を求めるにはどうすればいいんだ？」
「次数を下げたらさっきの方法が使えるんじゃないかな。」
夏帆「そうか、微分だ！e^xは微分してもe^xで、右辺を代入して微分すると…そうか、わかった！微分を繰り返せばいいんだね♪」
満足げな笑顔を浮かべ見つめてくる夏帆の笑顔が愛しい。
「そう。夏帆は賢いな。」
夏帆「えへへ♪だとすると、e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+…だね。」
「そう。そしてこの右辺は収束するよね。これをテイラー展開っていうんだ。」
夏帆「へえ。指数関数がこんな形で表せるなんて不思議だね。」
「こうすれば右辺は複素数でも定義できるよね。」
夏帆「うん。」
「そこでこれを指数関数の定義としよう。」
夏帆「あ！eの虚数乗が定義できちゃった♪」
「e^(ix)は…」
夏帆「e^(ix)=1+ix-x^2/2!-ix^3/3!+…」
「実は三角関数も同じようにして表せるんだよ。やってみよう。」
夏帆「お兄ちゃん、できたよ。sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-…, cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-…だね！」
「正解。そこでさっきの指数関数の展開式と見比べて何か気づくことはないかな？」
夏帆「う～…。そうか、e^(ix)=cosx+isinxが成り立つね。」
「夏帆はすごいな。それがオイラーの公式だ。」
夏帆「じゃあiπは…xにπを代入するのか。え～と、e^(iπ)=-1♪」
「それがオイラーの等式です。」